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5个让你烧脑让你晕的数学悖论!
悖论是一种很有意思的逻辑游戏,看完这5条经典悖论,你脑子还转的过来吗?
【1】二分法悖论(dichotomy paradox)概述:运动是不可能的。你要到达终点,必须先到达全程的1/2处;要到达1/2处,必须先到1/4处……每当你想到达一个点,总有一个中点需要先到,因此你是永远也到不了终点的。
古希腊哲学家芝诺(Zeno)提出了一系列关于运动不可分性的哲学悖论,二分法悖论就是其中之一。直到19世纪末,数学家们才为无限过程的问题给出了形式化的描述,类似于0.999……等于1的情境。
那么我们究竟是如何到达目的地的呢?二分法悖论只是空谷传音般放大了问题。若想妥善解决这个问题,还得靠物质、时间和空间是否无限可分等等这些20世纪的衍生理论。
脑洞:无限二分16寸芝士乳酪蛋糕却不能吃的快感,你值得拥有。
【2】托里拆利小号(Gabriel's Horn)概述:体积有限的物体,表面积却可以无限。
17世纪的几何悖论。意大利数学家托里拆利(Evangelista Torricelli)将y=1/x中x≥1的部分绕着x轴旋转了一圈,得到了上面的小号状图形(注:上图只显示了一部分图形)。然后他得出:这个小号的表面积无穷大,可体积却是 π。
脑洞:原来也有平胸不一定能为国家省布料的时候。
【3】有趣数悖论(Interesting Number Paradox)概述:1是非零的自然数,2是最小的质数,3是第一个奇质数,4是最小的合数等等;如果你找不到这个数字有趣的特征,那它就是第一个不有趣的数字,这也很有趣。
于是,量子计算领域的研究猿纳撒尼尔·约翰斯(Nathaniel Johnston)把这些有趣的整数定义为一个整体,并将这些整体排成序列,像是质数、斐波那契数列、毕达哥拉斯数等。基于这个定义,约翰斯在2009年6月的博客里提出,第一个没有出现在序列里的数字是11630。2013年11月序列更新之后,他表示14228是最小的无趣数。
脑洞:n只青蛙n张嘴,2n只眼睛4n条腿,扑通n声跳下水……你想起数列是个什么鬼了吗?
【4】球与花瓶(Balls and Vase Problem)概述:假设无限个球和一个花瓶,现在要进行一系列操作,且每次操作都一样:往花瓶里放10个球,然后取出1个球。那么,无穷多次这样的操作之后,花瓶里有多少个球呢?
答案千奇百怪。最直接的是无限个,也有数学家认为,每个球都会被取出来。逻辑学家詹姆斯·亨勒(James M. Henle)和托马斯·泰马祖科(Thomas Tymoczko)提出花瓶里的球最终可以是任意数目,甚至有具体的构造方法。
1976 年谢尔登·罗斯(Sheldon Ross)在他的《概率论第一课》(A First Course in Probability)介绍了这个问题,所以它被称为“罗斯·利特尔伍德悖论”(Ross-Littlewood Paradox)。
脑洞:小学奥林匹克暗袋摸球概率题终极版。
【5】土豆悖论(potato paradox)概述:100克土豆含有99%的水,如果它被榨出了2%,还剩98%的水分,它将只重50克。即100克的土豆含有1克干物质(dry material),当还剩98%的水分时,1克将对应2%的含量,因此含98%水分的土豆重50克。
脑洞:理科生们笑到内伤。